Funciones polinómicas


Funciones polinómicas de una variable en R

Primero una advertencia: el siguiente texto se refiere a veces a nociones vistas en la terminale S e incluso más allá. Por lo tanto, vaya a la página iniciación al segundo grado si está en seconde o a las páginas derivada de una función de segundo grado, raíces reales y raíces evidentes si está en première générale, o a parábolas, funciones de tercer grado y derivada de una función de tercer grado, así como al ejercicio sobre función de segundo grado y problemas con funciones de grado 2 y 3 si está en première technologique. Las páginas Derivada de una función polinómica y Ejercicio sobre funciones de grado 2 están destinadas a los alumnos de primero de bachillerato, pero también a los de último curso de bachillerato. Para la terminale ES, vaya a la página primitivas de funciones polinómicas.

Funciones polinómicas

Un tipo de función con una variable relativamente sencilla de estudiar es la función polinómica. Hagamos las presentaciones:

función polinómica

Es una suma de monomios. También aparece como una combinación lineal con coeficientes reales ai de diferentes potencias de la misma variable. El exponente máximo n es el grado del polinomio y a0 es la constante (es el coeficiente que multiplica a x0, por tanto 1).

Cuando este grado es 0, es una función constante. Cuando es 1, es una función afín. Además, un producto de n funciones lineales y/o afines da como resultado una función polinómica. Si el grado es 2, es una función cuadrática o trinómica. Aquí veremos más particularmente los grados superiores a 2.

El conjunto de definición es el conjunto de los números reales (salvo que se especifique lo contrario relacionado con una aplicación concreta, obviamente). En este intervalo, la función es continua y derivable.

Se dice que la formulación anterior es «expandida» y ordenada por potencias crecientes de x. Es la más conveniente para determinar la derivada. Para el estudio del signo, se prefiere la forma factorizada. Esto no existe necesariamente y el signo de la función es siempre el mismo. En cuanto a los límites en más y menos infinito, se determinan fácilmente ya que la función se comporta como su término de mayor grado. Las curvas representativas de las funciones polinómicas admiten ramas parabólicas que siguen el eje y.

Todo el mundo lo sabe desde el primer grado, la derivada de f(x) = axⁿ + … es f'(x) = anxn-1 + …

La integración no presenta ninguna dificultad. Una primitiva de f(x) = axⁿ + … es:

primitiva

La derivada, por tanto, tiene un grado menos que la función de la que se deriva, mientras que las primitivas tienen un grado más.

Dado que la función polinómica es especialmente sencilla de analizar, puede utilizarse para aproximar cualquier función en las proximidades de un punto. Así, la parte regular de una expansión limitada es una función polinómica.

Operaciones

Es muy sencillo determinar el signo de una suma, diferencia o producto de dos funciones polinómicas siempre que estén en su forma expandida. El grado del PRODUCTO es simplemente la suma de los dos exponentes más altos de cada polinomio.

El cociente de dos funciones polinómicas es una función racional.

Para la factorización, ver la página factorización de polinomios.

Ejemplo de estudio de una función

Consideremos la siguiente función, definida sobre R:

ejemplo

Se trata de una función de grado 4 cuyos coeficientes son ½, (7 / 3), -2, 0 y 1.

Los límites en el infinito son por supuesto +∞ y es obvio que un estudio de paridad es innecesario. Calculemos su derivada, cuyo signo podemos estudiar para establecer la tabla de variaciones.

derivada

¿Cuál es el signo del trinomio 2x² + 7x – 4? Determinemos sus posibles raíces. El discriminante Δ es igual a 81. Es positivo, por lo que hay dos raíces.

raíces

Sabemos que el trinomio es del mismo signo que el coeficiente del cuadrado (en este caso 2, por lo que es positivo) fuera de las raíces y de signo contrario dentro. Así que podemos montar la tabla de signos de la derivada seguida de la tabla de variación de la función:

tablas

A continuación se muestra una captura de pantalla para ver la curva ilustrativa de la función en GoeGebra (en negro). A título informativo, la curva que representa la derivada aparece en azul.

curvas

Usos económicos

Algunas secuencias de observaciones pueden ser traducidas correctamente por una función gracias a una regresión polinómica (realizable en Excel). A continuación, nos lleva a estudiar la función obtenida. Sin embargo, es raro que el grado del polinomio sea mayor que 3.

Una función polinómica de grado 3 se suele utilizar para modelar una función de costes (ver páginas de ejercicios de coste marginal, margen de beneficio, óptimo económico y función de costes).

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