Funzioni polinomiali


Funzioni polinomiali ad una variabile in R

Prima di tutto un avvertimento: il testo che segue fa talvolta riferimento a nozioni viste nel terminale S e anche oltre. Quindi andate alla pagina iniziazione al secondo grado se siete in seconde o alle pagine derivata di una funzione di secondo grado, radici reali e radici ovvie se siete in première générale, o alle parabole, funzioni di terzo grado e derivata di una funzione di terzo grado così come l’esercizio sulla funzione di secondo grado e problemi con funzioni di grado 2 e 3 se siete in première technologique. Le pagine derivata di una funzione polinomiale ed esercizio sulle funzioni di grado 2 sono destinate agli studenti del primo anno della scuola secondaria ma anche all’ultimo anno della scuola secondaria. Per il terminale ES, andate alla pagina primitive delle funzioni polinomiali.

Funzioni polinomiali

Un tipo di funzione con una variabile relativamente semplice da studiare è la funzione polinomiale. Facciamo le presentazioni:

funzione polinomiale

È una somma di monomi. Appare anche come una combinazione lineare con coefficienti reali ai di diverse potenze della stessa variabile. L’esponente massimo n è il grado del polinomio e a0 è la costante (è il coefficiente che moltiplica x0, quindi 1).

Quando questo grado è 0, è una funzione costante. Quando è 1, è una funzione affine. Un prodotto di n funzioni lineari e/o affini, inoltre, risulta in una funzione polinomiale. Se il grado è 2, è una funzione quadratica o trinomia. Qui, vedremo più in particolare i gradi superiori a 2.

L’insieme di definizione è l’insieme dei numeri reali (a meno che non sia specificato diversamente in relazione a un’applicazione concreta, ovviamente). Su questo intervallo, la funzione è continua e derivabile.

La formulazione precedente si dice “espansa” e ordinata per potenze crescenti di x. È il più conveniente per determinare la derivata. Per lo studio del segno, si preferisce la forma fattorizzata. Questo non esiste necessariamente e il segno della funzione è sempre lo stesso. Per quanto riguarda i limiti in più e meno infinito, sono facilmente determinabili poiché la funzione si comporta come il suo termine di grado più alto. Le curve rappresentative delle funzioni polinomiali ammettono rami parabolici che seguono l’asse y.

Tutti lo sanno dalla prima elementare, la derivata di f(x) = axⁿ + … è f'(x) = anxn-1 + …

L’integrazione non presenta difficoltà. Una primitiva di f(x) = axⁿ + … è:

primitiva

La derivata ha quindi un grado in meno della funzione da cui è derivata, mentre le primitive hanno un grado in più.

Siccome la funzione polinomiale è particolarmente semplice da analizzare, può essere usata per approssimare qualsiasi funzione in prossimità di un punto. Così, la parte regolare di un’espansione limitata è una funzione polinomiale.

Operazioni

È molto semplice determinare il segno di una somma, differenza o prodotto di due funzioni polinomiali, purché siano nella loro forma espansa. Il grado del PRODOTTO è semplicemente la somma dei due esponenti più alti di ciascun polinomio.

Il quoziente di due funzioni polinomiali è una funzione razionale.

Per la fattorizzazione, vedi la pagina fattorizzazione dei polinomi.

Esempio di studio di una funzione

Consideriamo la seguente funzione, definita su R:

esempio

Questa è una funzione di grado 4 i cui coefficienti sono ½, (7 / 3), -2, 0 e 1.

I limiti all’infinito sono ovviamente +∞ ed è ovvio che uno studio di parità non è necessario. Calcoliamo la sua derivata, il cui segno possiamo studiare per stabilire la tavola di variazione.

derivata

Qual è il segno del trinomio 2x² + 7x – 4? Determiniamo le sue possibili radici. Il discriminante Δ è uguale a 81. È positivo, quindi ci sono due radici.

radici

Sappiamo che il trinomio è dello stesso segno del coefficiente del quadrato (in questo caso 2, quindi è positivo) fuori delle radici e di segno opposto all’interno. Quindi possiamo impostare la tabella dei segni della derivata seguita dalla tabella di variazione della funzione:

tabelle

Di seguito uno screenshot per visualizzare la curva illustrativa della funzione su GoeGebra (in nero). Per informazione, la curva che rappresenta la derivata appare in blu.

curve

Usi economici

Alcune sequenze di osservazioni possono essere tradotte correttamente da una funzione grazie a una regressione polinomiale (realizzabile su Excel). Siamo quindi portati a studiare la funzione ottenuta. Tuttavia, è raro che il grado del polinomio sia maggiore di 3.

Una funzione polinomiale di grado 3 è di solito usata per modellare una funzione di costo (vedi le pagine degli esercizi su costo marginale, markup, optimum economico e funzione di costo).

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