Metodo Math

Sommario

Un polinomio, cos’è?
Rappresentazione grafica
Radici di un polinomio
Calcolo delle radici
Fattorizzazione del polinomio
Tabella dei segni
Somma della parabola e tabella delle variazioni
La forma canonica
Esercizi
Interesse dei polinomi

Introduzione
Questo capitolo è fondamentale perché i polinomi di secondo grado si trovano ovunque e sempre!
Si trovano in particolare in fisica, e gli studi di funzioni includono spesso tali funzioni.
Ricordatevi quindi tutto ciò che segue

Un polinomio, cos’è?
Un polinomio è una funzione f della forma:

dove a0, a1, a2… sono numeri reali. Li chiamiamo coefficienti.

Per esempio:

D’altra parte, non appena ci sono radici o frazioni, non è più una funzione polinomiale^^
Ogni volta c’è naturalmente una potenza di x più grande. Per esempio in


questo è il più grande x7


questo è il più grande x6


questo è il più grande x4

Questo è chiamato il GRADO del polinomio.
Negli esempi, quindi, il 1° polinomio è di grado 7, il 2° di grado 6, il 3° di grado 4

Ci interesseranno i polinomi di grado 2, cioè quelli della forma :

Abbiamo scritto i coefficienti a, b, e c di proposito, sarà più semplice per il resto.
Queste funzioni sono chiamate polinomi di secondo grado.

Rappresentazione grafica

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Prima di tutto, è importante sapere come appare quando viene tracciata.
Un polinomio di secondo grado è una parabola, rivolta verso l’alto o verso il basso:

Ma come facciamo a sapere se la parabola è rivolta verso l’alto o verso il basso?
Questo è molto facile, guardiamo il segno di a!!!
(ricorda che a è il coefficiente di x2)

Esempio:

Qui a = 3 > 0, quindi il piatto è rivolto in alto.

Qui a = -5 < 0, quindi il piatto è rivolto verso il basso.


AVVERTENZA!!! Bisogna guardare il coefficiente di x2 !!!
Oppure non è necessariamente il 1° nella funzione.
Esempio:

Qui a = +3 !!!
Molti dicono a = -5 perché è il primo coefficiente che vediamo, ma -5 è il coefficiente di x, non di x2…

Roots of a polynomial

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Roots of a polynomial, what are they?
No, non è quello che cresce nel terreno^^ Non ha niente a che fare nemmeno con la funzione della radice quadrata.
Le radici di un polinomio sono i valori per i quali un polinomio si annulla, cioè f(x) = 0.

Graficamente, questo corrisponde ai valori per i quali la curva interseca l’asse x:

Ad esempio:

Sostituiamo x con 1:

Quindi 1 è una radice di f!

Lo stesso vale per 2:

Quindi 2 è anche una radice di f!!!

Ma potrebbe esserci di più… a parte che un polinomio di secondo grado ha ALMENO 2 radici!!!
In effetti, può avere 0, 1 o 2.
Questo può essere visto molto bene graficamente, faremo una tabella riassuntiva:

Quindi un polinomio di secondo grado ha 0, 1 o 2 soluzioni.

In realtà c’è un teorema più generale:

Quindi un polinomio di grado 8 ha al massimo 8 radici, può avere 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, o 0!Un polinomio di grado 12 ha al massimo 12 radici, ecc.

Quindi un polinomio di grado 2 ha al massimo 2 radici! Questo può essere visto graficamente con la tabella qui sopra.

Calcolo delle radici di un polinomio di secondo grado

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Ora si tratta di come trovare queste radici!!!
Ovviamente non ci divertiremo a calcolare quanto vale la funzione per ogni x…ci sono formule pronte!!!

Ricordiamo che abbiamo

Allora ci sono 2 passi:

1) Calcoliamo il discriminante, che si chiama anche delta (la lettera Δ in greco) con la seguente formula:

Questa è una formula da imparare A CUORE!!!

La regola allora è:

Si può riassumere con questa tabella:

2) Il 2° passo è calcolare le radici se ce ne sono.
Le formule sono le seguenti:
Nel caso in cui c’è solo una soluzione, la chiameremo x1

Nel caso ci siano 2 soluzioni, le chiameremo x1 e x2.

Queste formule sono anche da imparare a memoria!!!
Per x2, l’unica cosa che cambia è il -√ Δ invece del +√ Δ: facile da ricordare^^


AVVISO l’ordine dei coefficienti!La a è infatti il coefficiente della x2, la b il coefficiente della x e la c il coefficiente costante!!!
Se abbiamo f(x) = -3x + 4 – 5×2, è consigliabile metterla in ordine prima di fare i calcoli:
scriviamo f(x) = – 5×2 -3x + 4, quindi possiamo vedere che a = -5, b = -3 e c = 4.

Ovviamente è con la pratica che ti entrerà in testa, alla fine ti diventerà ovvio

Ma prima di arrivare ai video esercizi, una nota veloce:
Per il caso in cui Δ = 0, non è un’altra formula che per il caso > 0.
Infatti, se nelle formule per x1 e x2 si sostituisce Δ con 0, troviamo la stessa formula: -b/2a, che è la formula per x1 per Δ = 0.

In effetti, quando c’è una sola soluzione, è come se ci fossero 2 soluzioni mescolate, per questo diciamo che è una RADICE DOPPIA nel caso in cui c’è una sola soluzione, perché è come se ci fossero 2 soluzioni sovrapposte.
Se non hai capito questa piccola osservazione va bene^^

Pratica con questi calcoli di radici polinomiali, è il modo migliore per imparare a farli e ricordare le formule!
Soprattutto perché ci sono parecchi esempi, quindi divertiti!

Fattorizzazione di polinomi

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Una volta che hai calcolato le radici di un polinomio, c’è qualcosa di molto semplice che puoi fare: fattorizzare il polinomio!

Il principio è questo: supponete di avere f(x) = ax2 + bx + c, e avete calcolato le 2 radici x1 e x2

Allora potete dire che:

Quindi, quando avete bisogno di fattorizzare un polinomio, basta calcolare le radici e poi applicare la formula sopra.
Ovviamente se il polinomio non ha radici non puoi fattorizzare il polinomio^^


AVVERTENZA!!! Non dimenticare la a nella formula!!!
Molte persone pensano che la formula sia f(x) = (x – x1)(x – x2), ma non dimenticare la a davanti…

Esempio: f(x) = 4×2 – 4x – 24.
Prima calcoliamo le radici: Δ = b2 – 4ac – = (-4)2 – 4 × 4 × (-24) = 400
400 > 0 quindi ci sono 2 radici:
x1 = (-b + √Δ)/2a = 3
x2 = (-b – √Δ)/2a = -2
(potete divertirvi a espandere il calcolo per verificare )

Allora dobbiamo solo applicare la formula:
Siccome f(x) = 4×2 – 4x – 24, abbiamo a = 4, quindi:

f(x) = a(x – x1)(x – x2) = 4(x – 3)(x – (-2)) = 4(x – 3)(x + 2)

Ed ecco fatto, come puoi vedere una volta che conosci la formula e sai come calcolare le radici, non ci sono preoccupazioni


AVVISO!!! Nell’esempio c’è una radice negativa (-2), quindi alla fine abbiamo x “+” 2.
Solo perché c’è x – x1 o x – x2 nella formula non significa che avremo necessariamente “-” alla fine, tutto dipende da x1 e x2.
Ne parliamo ancora nel video dell’esercizio.

Se ora Δ

Ultima cosa prima degli esercizi: se Δ = 0, abbiamo detto che c’era solo una radice: x1.
Ma allora come applichiamo la formula ????
Beh, poiché abbiamo detto che era una radice DOPPIA, infatti la x2 è uguale alla x1.
Quindi abbiamo f(x) = a(x – x1)(x – x1)
Questo dà f(x) = a(x – x1)2
Quindi:


Siccome ne stiamo parlando, ecco alcuni esercizi di fattorizzazione di polinomi per esercitarsi a fattorizzare velocemente un polinomio di secondo grado.

Tabella dei segni

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Una delle cose che dovrai fare spesso con i polinomi di secondo grado è la loro tabella dei segni!
Vedrai che è molto semplice

Il più semplice è quando c’è 0 o 1 soluzione, perché la funzione non cambia segno!!!

Nota che tutto dipende dal segno di a!
Se a è positivo, la funzione è positiva.
Se a è negativo, la funzione è negativa!!!


———————————–

Questo è davvero troppo semplice
Fate attenzione a mettere il valore per cui la funzione si annulla nel caso ci sia 1 soluzione.

Ma questo non è il caso che si incontra più spesso. Di solito ci sono 2 radici.

Avrete notato che possiamo dedurre una proprietà che vale per tutti i casi:

Si ottiene così questo:

Naturalmente, è ancora facendo molti esercizi sulla tabella dei segni che si può migliorare

Somma della tabella delle parabole e delle variazioni

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Per ogni parabola, c’è quello che viene chiamato il vertice, che è il punto in cui la funzione è massima o minima:

Questo punto è spesso denotato S (S come vertice ovviamente^^).
L’ascissa di questo punto, che noteremo quindi xS, ha la formula:

Notare che questa è la formula di prima per il caso in cui c’era solo una radice^^
Graficamente questo dà questo:

Vediamo allora qualcosa di molto semplice:
Se a > 0, la funzione è decrescente su ]-∞; xSxS; +∞-∞; xSxS; +∞[ (il contrario di ciò che^^)

Si possono quindi costruire le tabelle delle variazioni nei 2 casi:

Manca il valore di f in xS e i limiti in +∞ e -∞ ma forse non avete ancora visto queste nozioni. Va bene, non è la parte più difficile^^

Fate questi esercizi sulle variazioni di un polinomio per padroneggiare quest’ultima parte del capitolo.

La forma canonica

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Qual è la forma canonica?
È semplicemente un altro modo di scrivere un polinomio di secondo grado.
Abbiamo visto che esiste la forma espansa, la forma fattorizzata e infine vedremo la forma canonica. La formula è:

Ma a cosa corrisponde questo α e β? (alfa e beta)
Bene, corrispondono alle coordinate del vertice della parabola (che abbiamo visto poco prima).

Quindi :

Ok, ma allora concretamente cosa bisogna fare per calcolare la forma canonica?
Un piccolo esempio è d’obbligo

Immaginiamo di avere f(x) = 3×2 + 4x – 5
Quindi abbiamo a = 3, b = 4, e c = -5
Prima calcoliamo α, poi β, e infine sostituiamo tutto questo nella formula.

Quindi calcoliamo β :

L’unica cosa rimasta da fare è sostituire nella formula :

E questo è tutto, abbiamo trovato la forma canonica della funzione f

Esercizi

Ora che i polinomi di secondo grado non hanno segreti per voi, esercitatevi con questi esercizi sui polinomi di secondo grado.

Interesse dei polinomi
I polinomi si trovano spesso negli studi di funzioni, sono funzioni “di base”.
I polinomi di secondo grado sono particolarmente interessanti da studiare perché si possono calcolare i loro vertici, variazioni, radici, segni, ecc… in modo semplice, una volta che si conosce il metodo, a differenza delle funzioni di grado superiore.

Inoltre, troviamo polinomi di secondo grado in fisica, specialmente in Terminale quando studiamo la traiettoria di un proiettile. Infatti, se lanciate una palla davanti a voi verso l’alto, essa avrà una traiettoria parabolica, e avremo quindi un’equazione di secondo grado.

Ricordatevi bene questo capitolo con le formule e le varie proprietà perché è probabile che le rivisiterete spesso!

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