Leibniz


7.4.1 Curvas de isobeneficio y sus pendientes

El beneficio de una empresa es la diferencia entre sus ingresos (precio por cantidad vendida) y sus costes totales. Si conocemos la función de costes de la empresa, podemos determinar sus curvas de isobeneficio, es decir, las combinaciones de y que producen el mismo beneficio. En este Leibniz, obtenemos la ecuación de una curva de isobeneficio, explicamos su forma y encontramos su pendiente.

El beneficio económico es el ingreso menos los costes. Para una empresa manufacturera como Beautiful Cars, el beneficio depende de la cantidad de productos () y del precio () al que se puede vender cada unidad producida. Denotamos el beneficio por , como antes. Si la función de costes de la empresa es , entonces su beneficio puede expresarse como una función de y:

Las curvas de beneficio son una familia de curvas en el plano , cada una de las cuales corresponde a un nivel determinado de beneficio. La ecuación de una curva típica de isobeneficio es:

donde es una constante que representa el nivel de beneficio. Hay una curva diferente para cada valor de . Trazaremos las curvas de isoproducción en un gráfico con en la ordenada, por lo que es útil reescribir esta ecuación en una forma que exprese en función de:

Esta ecuación implica que para un valor dado de , si aumenta, también aumenta. Esto significa que en un gráfico que represente la familia de curvas de isoproducción, las curvas más altas corresponden a niveles más altos de beneficio. Esto se puede observar en los gráficos de las Cheerios de Manzana y Canela (Figura 7.4) y de los Coches Bonitos (Figura 7.10) del texto, reproducidos aquí como Figuras 1 y 2.

Curvas de Isoprofit para Cheerios de manzana y canela.

Figura 1 Curvas de Isoprofit para Cheerios de manzana y canela.

Curvas de Isoprofit para Beautiful Cars.

Figura 2 Curvas de Isoprofit para Beautiful Cars.

Ahora explicamos por qué las curvas de isoproducción de estas dos empresas tienen las formas que se ven en los gráficos. La ecuación de la curva de isobeneficio correspondiente al nivel de beneficio puede escribirse:

o de forma equivalente:

Centrémonos primero en el caso de que: la curva de beneficio económico sea cero. Fijándonos en la ecuación anterior, observamos que la curva de beneficio económico cero corresponde a la curva de coste medio (CA). En cualquier punto del gráfico por debajo de esta curva, la empresa incurriría en pérdidas. En el caso de las Cheerios de manzana y canela, el coste medio es constante: la producción de cada libra cuesta 2 dólares, independientemente de que la cantidad total sea grande o pequeña. La curva de beneficio económico cero es, por tanto, la línea horizontal . Beautiful Cars tiene una curva de coste medio en forma de U y, por tanto, una curva de beneficio económico nulo en forma de U.

Considere ahora las curvas correspondientes a niveles de beneficio positivos, La ecuación de la curva isoprofit se expresa entonces como la suma de las curvas CM y Observe que es grande cuando es pequeña, y

Por tanto, es una función decreciente y convexa de .

La forma de las curvas isoprofit depende de las formas de y de la curva CM. En el caso de las Cheerios de manzana y canela, esto es especialmente sencillo. CM es una línea horizontal y la ecuación de las curvas de isoproducción es . Así, las curvas de isoproducción son decrecientes y convexas, como , tal y como vemos en la figura 1.

Para Beautiful Cars la curva de CM tiene forma de U y, por tanto, es convexa, con un mínimo en (punto B). Por lo tanto, la curva isoprofit correspondiente a un nivel de beneficio debe ser también convexa, ya que la suma de dos funciones convexas es siempre convexa (la segunda derivada de es , que es positiva si y son positivas).

Si , y son ambas funciones decrecientes de , entonces las curvas isoprofit son decrecientes. Si es grande, la derivada de es cercana a cero, por lo que la pendiente de la curva de isoproducción es casi idéntica a la pendiente de – las curvas de isoproducción son decrecientes (como la curva CM). Por lo tanto, la curva isoprofit para , al igual que la curva CM, tiene forma de U, con un mínimo alcanzado para un valor positivo de .

Denotemos el valor de en el que se alcanza el mínimo. Obsérvese que depende de . Sabemos que todas las curvas de isoproducción son decrecientes hasta , por lo que: el mínimo de una curva de isoproducción con se alcanza a la derecha del mínimo de la curva de beneficio cero. Un argumento similar muestra que a medida que aumenta, también aumenta: las curvas isoprofit correspondientes a niveles más altos de beneficio alcanzan su mínimo más a la derecha (Figura 2).

Ahora hemos explicado por qué las curvas isoprofit de Beautiful Cars tienen forma de U. La otra propiedad que se puede observar en la figura 2 es que la curva de costes marginales se cruza con las curvas de isoproducción en sus mínimos. En Leibniz 7.3.1 demostramos que esto era cierto para la curva CM (la curva de beneficio cero) mostrando que siempre era del mismo signo que la pendiente de la curva CM. Ahora utilizamos el mismo enfoque para las pendientes de las otras curvas de isoprofit.

Considere la curva de isoprofit correspondiente a un beneficio de . A lo largo de esta curva,

corresponde a la diferencia entre dos términos, siendo el primero la pendiente de la curva CM. Hemos demostrado en Leibniz 7.3.1 (utilizando la regla de derivación de una fracción) que corresponde a . Además, sabemos por la ecuación de las curvas de isoproducción que . Por lo tanto

Simplificando la expresión de la derecha, vemos que:

Esta ecuación nos da la pendiente en cada punto de la curva isoprofit. Cuando es baja, es alta -por encima del coste marginal Cm- y las curvas son decrecientes. Así, cuando aumenta, disminuye; esto continúa mientras . En el caso de Beautiful Cars, finalmente llegamos a un punto en el que y en ese punto, la ecuación nos dice que la pendiente es cero: hemos alcanzado el mínimo de la curva de isoproducción. La pendiente de la curva Cm es positiva en este punto. Más allá de este punto, y las curvas de isoproducción también aumentan.

¿Qué hay del caso de las Cheerios de manzana y canela? Dado que el coste unitario de una libra de cereales Cheerios es de 2 dólares, independientemente del nivel de producción, tanto el coste marginal como el coste medio son de 2 dólares. La curva de beneficio cero corresponde no sólo a la curva CM, sino también a la curva Cm. La ecuación de cualquier curva de isobeneficio puede escribirse como . Por lo tanto, si , entonces , lo que implica que la pendiente es siempre negativa. Como se puede ver en la Figura 1, todas las curvas de beneficios positivos son decrecientes, pero nunca se cruzan con la curva Cm.

Para más información: Capítulo 8 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.

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