Método matemático

Resumen

Un polinomio, ¿qué es?¡
Representación gráfica
Raíces de un polinomio
Cálculo de raíces
Factorización del polinomio
Tabla de signos
Sumación de la parábola y tabla de variaciones
La forma canónica
Ejercicios
Interés de los polinomios

Introducción
Este capítulo es fundamental porque encontramos polinomios de segundo grado en todas partes y todo el tiempo!
Se encuentran en la física en particular, y los estudios de funciones a menudo incluyen este tipo de funciones.
Así que recuerda todo lo que sigue

Un polinomio, ¿qué es?
Un polinomio es una función f de la forma:

donde a0, a1, a2… son números reales. Los llamamos coeficientes.

Por ejemplo:

Por otro lado, en cuanto hay raíces o fracciones, ya no es una función polinómica^^
Cada vez que hay, por supuesto, una potencia de x mayor. Por ejemplo en


este es el mayor x7


este es el mayor x6


este es el mayor x4

Se llama el GRADO del polinomio.
En los ejemplos, pues, el 1º polinomio es de grado 7, el 2º de grado 6, el 3º de grado 4

Nos interesarán los polinomios de grado 2, es decir, los de la forma :

Escribimos los coeficientes a, b y c a propósito, será más sencillo para el resto.
Estas funciones se denominan polinomios de segundo grado.

Representación gráfica

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En primer lugar, es importante saber cómo se ve cuando se traza.
Un polinomio de segundo grado es una parábola, orientada hacia arriba o hacia abajo:

¿Pero cómo sabemos si la parábola está orientada hacia arriba o hacia abajo?
¡Eso es muy fácil, miramos el signo de a¡¡!!!
(recuerda que a es el coeficiente de x2)

Ejemplo:

Aquí a = 3 > 0, por lo que el plato está orientado hacia arriba.

Aquí a = -5 < 0, por lo que el plato está orientado hacia abajo.


¡AVISO!!! Hay que mirar el coeficiente de x2 !!!
O no es necesariamente el 1º de la función.
Ejemplo:

Aquí a = +3 !!!
Muchos dicen que a = -5 porque es el primer coeficiente que vemos, pero -5 es el coeficiente de x, no de x2…

Raíces de un polinomio

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Raíces de un polinomio, ¿qué son?
No es lo que crece en la tierra^^ Tampoco tiene nada que ver con la función de raíz cuadrada.
Las raíces de un polinomio son los valores para los que un polinomio se cancela, es decir, f(x) = 0.

Gráficamente, esto corresponde a los valores para los que la curva interseca el eje x:

Por ejemplo:

Sustituyamos x por 1:

¡Entonces 1 es una raíz de f!¡¡¡

Lo mismo con el 2:

¡Así que el 2 también es una raíz de f!!

¡Pero podría haber más… excepto que un polinomio de segundo grado tiene AL MENOS 2 raíces!!!
De hecho, puede tener 0, 1 o 2.
Esto se puede ver muy bien gráficamente, haremos un cuadro resumen:

Así que un polinomio de segundo grado tiene 0, 1 o 2 soluciones.

De hecho hay un teorema más general:

Así que un polinomio de grado 8 tiene COMO MÁXIMO 8 raíces, puede tener 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ¡o 0!
Un polinomio de grado 12 tiene como máximo 12 raíces, etc.

¡Entonces un polinomio de grado 2 tiene como máximo 2 raíces! Esto se puede ver gráficamente con la tabla de arriba.

Calcular las raíces de un polinomio de segundo grado

¡Tapa de la página

¡Ahora se trata de cómo encontrar esas raíces!!
¡Por supuesto que no nos vamos a divertir calculando lo que vale la función para cada x…hay fórmulas ya hechas!!!

Recordamos que tenemos

Entonces hay 2 pasos:

1) Calculamos el discriminante, que también se llama delta (la letra Δ en griego) con la siguiente fórmula:

¡Esta es una fórmula que hay que aprender DE CORAZÓN!!!

La regla entonces es:

Podemos resumir con esta tabla:

2) El 2º paso es calcular las raíces si las hay.
Las fórmulas son las siguientes:
En el caso de que sólo haya una solución, la llamaremos x1

En caso de que haya 2 soluciones, las llamaremos x1 y x2.

¡Estas fórmulas también hay que aprenderlas de memoria!!!
Para x2, lo único que cambia es la -√ Δ en lugar de la +√ Δ: fácil de recordar^^


¡Atención al orden de los coeficientes!!!
¡La a es, efectivamente, el coeficiente de la x2, la b el coeficiente de la x y la c el coeficiente constante!!
Si tenemos f(x) = -3x + 4 – 5×2, conviene primero ponerlo en orden antes de hacer los cálculos:
escribimos f(x) = – 5×2 -3x + 4, por lo que podemos ver que a = -5, b = -3 y c = 4.

Por supuesto que es con la práctica como se te meterá en la cabeza, al final te resultará obvio

Pero antes de llegar a los ejercicios del vídeo, un apunte rápido:
Para el caso en que Δ = 0, no es otra fórmula que para el caso Δ > 0.
De hecho, si en las fórmulas de x1 y x2 se sustituye Δ por 0, nos encontramos con la misma fórmula: -b/2a, que es la fórmula de x1 para Δ = 0.

De hecho, cuando sólo hay una solución, es como si hubiera 2 soluciones mezcladas, por eso decimos que es una DOBLE raíz en el caso de que sólo haya una solución, porque es como si hubiera 2 soluciones superpuestas.¡
Si no has entendido este pequeño comentario no pasa nada^^

¡Prueba estos cálculos de raíces de polinomios, es la mejor manera de aprender a hacerlo y recordar las fórmulas!!
¡Especialmente porque hay bastantes ejemplos, así que disfrútalo!

Factorización de polinomios

Una vez que has calculado las raíces de un polinomio, hay algo muy sencillo que puedes hacer: ¡factorizar el polinomio!

El principio es el siguiente: supón que tienes f(x) = ax2 + bx + c, y has calculado las 2 raíces x1 y x2

Entonces puedes decir que:

Así que, cuando necesites factorizar un polinomio, sólo tienes que calcular las raíces y luego aplicar la fórmula anterior.
Por supuesto que si el polinomio no tiene raíces no se puede factorizar el polinomio^^


¡AVISO!!! No olvides la a en la fórmula!!!
Mucha gente piensa que la fórmula es f(x) = (x – x1)(x – x2), pero no olvides la a delante…

Ejemplo: f(x) = 4×2 – 4x – 24.
Primero calculamos las raíces: Δ = b2 – 4ac – = (-4)2 – 4 × 4 × (-24) = 400
400 > 0 por lo que hay 2 raíces:
x1 = (-b + √Δ)/2a = 3
x2 = (-b – √Δ)/2a = -2
(puedes divertirte ampliando el cálculo para comprobarlo )

Entonces sólo tenemos que aplicar la fórmula:
Dado que f(x) = 4×2 – 4x – 24, tenemos a = 4, por tanto:

f(x) = a(x – x1)(x – x2) = 4(x – 3)(x – (-2)) = 4(x – 3)(x + 2)

Y ahí lo tienes, como ves una vez que conoces la fórmula y sabes calcular las raíces, no hay que preocuparse


¡AVISO!!! En el ejemplo hay una raíz negativa (-2), por lo que al final tenemos x «+» 2.
Que haya x – x1 o x – x2 en la fórmula no significa que necesariamente vayamos a tener «-» al final, todo depende de la x1 y la x2.
Volvemos a hablar de esto en el vídeo del ejercicio.

Si ahora Δ

Lo último antes de los ejercicios: si Δ = 0, dijimos que sólo había una raíz: x1.
Pero entonces cómo aplicamos la fórmula ????
Bueno, ya que dijimos que era una raíz DOBLE, de hecho la x2 es igual a la x1.
Entonces tenemos f(x) = a(x – x1)(x – x1)
Esto da f(x) = a(x – x1)2
Así:


Ya que hablamos de ello, aquí tienes unos cuantos ejercicios de factorización de polinomios para practicar rápidamente la factorización de un polinomio de segundo grado.

Tabla de signos

¡Una de las cosas que tendrás que hacer a menudo con los polinomios de segundo grado es su tabla de signos!¡¡¡
Verás que es muy sencillo

Lo más sencillo es cuando hay 0 o 1 solución, porque la función no cambia de signo!!!¡¡¡

Nota que todo depende del signo de a!
Si a es positivo, la función es positiva.
¡Si a es negativo, la función es negativa!!!


———————————–

Esto es realmente demasiado sencillo
Cuidado con poner el valor para el que la función se anula en el caso de que haya 1 solución.

Pero este no es el caso que más se da. Por lo general, hay 2 raíces.

Habrás notado que podemos deducir una propiedad que se mantiene para todos los casos:

Pues da esto:

Por supuesto, es de nuevo haciendo muchos ejercicios sobre la tabla de signos que puedes mejorar

Suma de la parábola y tabla de variaciones

Por cada parábola, existe lo que se llama el vértice, que es el punto donde la función es máxima o mínima :

Este punto se suele denotar S (S como vértice obviamente^^).
La abscisa de este punto, que por tanto anotaremos xS, tiene la fórmula:

Nótese que esta es la fórmula de antes para el caso en el que sólo había una raíz^^
Gráficamente da esto:

Entonces vemos algo muy sencillo:
Si a > 0, la función es decreciente en ]-∞; xSxS; +∞-∞; xSxS; +∞[ (lo contrario qué^^)

Así que podemos construir las tablas de variaciones en los 2 casos:

Falta el valor de f en xS y los límites en +∞ y -∞ pero puede que no hayas visto estas nociones todavía. No pasa nada, esa no es la parte más difícil^^

Haz estos ejercicios sobre las variaciones de un polinomio para dominar esta última parte del capítulo.

La forma canónica

Cabeza de página

¿Qué es la forma canónica?
Simplemente es otra forma de escribir un polinomio de segundo grado.
Hemos visto que existe la forma expandida, la forma factorizada y finalmente veremos la forma canónica. La fórmula es:

Pero, ¿a qué corresponde esta α y β? (alfa y beta)
Pues corresponden a las coordenadas del vértice de la parábola (que vimos justo antes).

Así pues :

Bien, pero entonces concretamente ¿qué tenemos que hacer para calcular la forma canónica?
Un pequeño ejemplo está en orden

Imaginemos que tenemos f(x) = 3×2 + 4x – 5
Entonces tenemos a = 3, b = 4, y c = -5
Primero calcularemos α, luego β, y finalmente sustituiremos todo eso en la fórmula.

Después calculamos β :

Lo único que queda por hacer es sustituir en la fórmula :

Y ya está, encontramos la forma canónica de la función f

Ejercicios

Ahora que los polinomios de segundo grado no tienen secretos para ti, practica con estos ejercicios sobre polinomios de segundo grado.

Interés de los polinomios
Los polinomios se encuentran a menudo en los estudios de funciones, son funciones «básicas».
Los polinomios de segundo grado son especialmente interesantes de estudiar porque se pueden calcular sus vértices, variaciones, raíces, signos, etc… de forma sencilla, una vez que se conoce el método, a diferencia de las funciones de mayor grado.

Además, encontramos polinomios de segundo grado en la física, especialmente en Terminale cuando estudiamos la trayectoria de un proyectil. En efecto, si lanzas una pelota de frente hacia arriba, tendrá una trayectoria parabólica y, por lo tanto, tendremos una ecuación de segundo grado.

Así que recuerda bien este capítulo con las fórmulas y las distintas propiedades, ¡porque es probable que las revises a menudo!

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