Funções polinomiais


Funções polinomiais de uma variável em R

P>Primeiro aviso: o texto seguinte refere-se por vezes a noções vistas em terminale S e mesmo mais além. Assim, vá para a iniciação da página ao segundo grau se estiver em segundo grau ou para as páginas derivadas de uma função do segundo grau, raízes reais e raízes óbvias se estiver em première générale, ou para as parábolas, funções do terceiro grau e derivadas de uma função do terceiro grau, bem como para o exercício da função do segundo grau e problemas com funções do segundo grau e 3 se estiver em première technologique. As páginas derivadas de uma função polinomial e exercício sobre funções de grau 2 destinam-se aos estudantes do primeiro ano do ensino secundário, mas também do último ano do ensino secundário. Para o terminal ES, ir para a página primitivas das funções polinomiais.

Funções polinomiais

Um tipo de função com uma variável relativamente simples de estudar é a função polinomial. Vamos fazer as introduções:

função polinomial

É uma soma de monómios. Também aparece como uma combinação linear com coeficientes reais ai de diferentes potências da mesma variável. O expoente máximo n é o grau do polinómio e a0 é a constante (é o coeficiente que se multiplica x0, portanto 1).

Quando este grau é 0, é uma função constante. Quando é 1, é uma função afim. Um produto de n funções lineares e/ou afins resulta, além disso, numa função polinomial. Se o grau for 2, é uma função quadrática ou trinomial. Aqui, veremos mais particularmente os graus superiores a 2,

O conjunto de definição é o conjunto de números reais (salvo especificação em contrário relacionada com uma aplicação concreta, obviamente). Neste intervalo, a função é contínua e derivável.

A formulação acima é dita “expandida” e ordenada por poderes crescentes de x. É o mais conveniente para determinar a derivada. Para o estudo do sinal, é preferível a forma factorizada. Isto não existe necessariamente e o sinal da função é sempre o mesmo. Quanto aos limites em mais e menos infinito, eles são facilmente determinados uma vez que a função se comporta como o seu termo de maior grau. As curvas representativas das funções polinomiais admitem ramos parabólicos que seguem o eixo y.

Todos sabem disto desde o primeiro grau, a derivada de f(x) = axⁿ + … é f'(x) = anxn-1 + …

Integração não apresenta qualquer dificuldade. Um primitivo de f(x) = axⁿ + … é:

primitivo

A derivada tem portanto um grau a menos do que a função da qual é derivada, enquanto que os primitivos têm um grau a mais.

P>Desde que a função polinomial é particularmente simples de analisar, pode ser usada para aproximar qualquer função na proximidade de um ponto. Assim, a parte regular de uma expansão limitada é uma função polinomial.

Operações

É muito simples determinar o sinal de uma soma, diferença, ou produto de duas funções polinomiais, desde que estejam na sua forma expandida. O grau do PRODUTO é simplesmente a adição dos dois expoentes mais elevados de cada polinómio.

O quociente de duas funções polinomiais é uma função racional.

Para factoring, ver a página de factoring polinomial.

Exemplo de um estudo de função

Consideremos a seguinte função, definida em R:

exemplo

Esta é uma função de grau 4 cujos coeficientes são ½, (7 / 3), -2, 0, e 1.

Os limites ao infinito são, evidentemente, +∞ e é óbvio que um estudo de paridade é desnecessário. Vamos calcular a sua derivada, cujo sinal podemos estudar para estabelecer a tabela de variação.

derivative

Qual é o sinal do trinómio 2x² + 7x – 4? Vamos determinar as suas possíveis raízes. O discriminante Δ é igual a 81. É positivo, portanto há duas raízes.

roots

Sabemos que o trinómio é do mesmo signo que o coeficiente do quadrado (neste caso 2, portanto é positivo) fora das raízes e do signo oposto no interior. Assim, podemos criar a tabela de sinais da derivada seguida da tabela de variação da função:

tables

Below é uma imagem de ecrã para ver a curva ilustrativa da função no GoeGebra (em preto). Para informação, a curva representando a derivada aparece em azul.

curvas

Usos económicos

algumas sequências de observações podem ser correctamente traduzidas por uma função graças a uma regressão polinomial (realizável em Excel). Somos então levados a estudar a função obtida. Contudo, é raro que o grau do polinómio seja superior a 3.

Uma função polinomial de grau 3 é normalmente usada para modelar uma função de custo (ver páginas de exercício de custo marginal, markup, óptimo económico, e função de custo).

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