Método Matemático (Português)

Sumário

Um polinómio, o que é?
Representação gráfica
Raízes de um polinómio
Cálculo das raízes
Factorização do polinómio
Tabela de sinais
Soma da parábola e tabela de variação
A forma canónica
Exercícios
Interesse dos polinómiosp>Introdução
Este capítulo é fundamental porque os polinómios de segundo grau podem ser encontrados em todo o lado e a toda a hora!!
Encontram-se em particular na física, e os estudos de funções incluem frequentemente tais funções.
Por isso lembrem-se de tudo o que se segue

Um polinómio, o que é?
Um polinómio é uma função f da forma:

onde a0, a1, a2… são números reais. Chamamos-lhes os coeficientes.

Por exemplo:

Por outro lado, logo que existam raízes ou fracções, deixa de ser uma função polinomial^^
Cada vez há, claro, um poder de x maior. Por exemplo em

br>esta é a maior x7

br>esta é o maior x6br>> este é o maior x4

Este chama-se o DEGREE do polinómio.
Nos exemplos, então, o 1º polinómio é de grau 7, o 2º de grau 6, o 3º de grau 4

Estaremos interessados em polinómios de grau 2, ou seja, os da forma :

Escrevemos os coeficientes a, b, e c de propósito, será mais simples para o resto.
Estas funções são chamadas polinómios de segundo grau.

Representação gráfica

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P>Primeiro de tudo, é importante saber como é quando é plotado.
Um polinómio de segundo grau é uma parábola, virada para cima ou para baixo:

Mas como sabemos se a parábola está virada para cima ou para baixo?
Isso é muito fácil, olhamos para o sinal de a!!!
(lembre-se a é o coeficiente de x2)

Exemplo:

Here a = 3 > 0, portanto o prato está virado para cima.

Here a = -5 < 0, portanto o prato está virado para baixo.

->br>AVISO!!! Tem de olhar para o coeficiente de x2 !!!
Or não é necessariamente o 1º na função.
Exemplo:
br>aqui a = +3 !!!
Muitos dizem a = -5 porque esse é o primeiro coeficiente que vemos mas -5 é o coeficiente de x, não de x2…

Raízes de um polinómio

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Raízes de um polinómio, quais são?
Não é o que cresce no solo^^^ Também não tem nada a ver com a função da raiz quadrada.
As raízes de um polinómio são os valores para os quais um polinómio cancela, isto é, f(x) = 0.

Gráficamente, isto corresponde aos valores para os quais a curva intersecta o eixo x:

Por exemplo:

p> Vamos substituir x por 1:

Então 1 é uma raiz de f!!

Same com 2:

Então 2 é também uma raiz de f!!

mas poderia haver mais… excepto que um polinómio de segundo grau tem pelo menos 2 raízes!!!
De facto, pode ter 0, 1 ou 2.
Isto pode ser visto muito bem graficamente, vamos fazer um quadro resumo:

Então um polinómio de segundo grau tem 0, 1 ou 2 soluções.

De facto existe um teorema mais geral:

Por isso um polinómio de grau 8 tem A MAIS 8 raízes, pode ter 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ou 0!!
Um polinómio de grau 12 tem A MAIS 12 raízes, etc.

Então um polinómio de grau 2 tem no máximo 2 raízes! Isto pode ser visto graficamente com a tabela acima.

br>>>p>Cálculo das raízes de um polinómio de segundo grau

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Agora é uma questão de como encontrar estas raízes!!
Não nos vamos divertir a calcular o valor da função para cada x…há fórmulas prontas!!!

Recordamos que temos

Então há 2 passos:

1) Calculamos o discriminante, que também é chamado de delta (a carta Δ em grego) com a seguinte fórmula:

Esta é uma fórmula a aprender POR CORAÇÃO!!!

A regra então é:

Podemos resumir com esta tabela:

2) O 2º passo é calcular as raízes, se houver alguma.
As fórmulas são as seguintes:
No caso em que só existe uma solução, chamar-lhe-emos x1

No caso de haver 2 soluções, chamá-las-emos x1 e x2.

Estas fórmulas também devem ser aprendidas de cor!!!
Para x2, a única coisa que muda é a -√ Δ em vez da +√ Δ: fácil de lembrar^^^

->br>AVERIFICANDO a ordem dos coeficientes!!!
O a é de facto o coeficiente do x2, o b o coeficiente do x e o c o coeficiente constante!!
Se tivermos f(x) = -3x + 4 – 5×2, é aconselhável primeiro colocá-lo em ordem antes de fazer os cálculos:
escrevemos f(x) = – 5×2 -3x + 4, para que possamos ver que a = -5, b = -3 e c = 4.

Se é com a prática que vai entrar na sua cabeça, no final tornar-se-á óbvio para si

Mas antes de chegarmos aos exercícios vídeo, uma nota rápida:
Para o caso em que Δ = 0, não é outra fórmula do que para o caso Δ > 0.
Na verdade, se nas fórmulas para x1 e x2 substituir Δ por 0, encontramos a mesma fórmula: -b/2a, que é a fórmula para x1 para Δ = 0.

Na verdade, quando há apenas uma solução, é como se houvesse 2 soluções misturadas, e é por isso que dizemos que é uma raiz DUPLO no caso em que há apenas uma solução, porque é como se houvesse 2 soluções sobrepostas.
Se não percebeu esta pequena observação, não faz mal^^

P>Prática com estes cálculos de raiz polinomial, é a melhor maneira de aprender a fazê-lo e de recordar as fórmulas!!
Especialmente porque há bastantes exemplos, por isso aproveite!

Factoring polynomials

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Após ter calculado as raízes de um polinómio, há algo muito simples que pode fazer: factor o polinómio!

O princípio é este: suponha que tem f(x) = ax2 + bx + c, e calculou as 2 raízes x1 e x2

Então pode dizer-se que sim:

Então, quando precisar de factorar um polinómio, basta calcular as raízes e depois aplicar a fórmula acima.
Se o polinómio não tiver raízes não se pode ter em conta o polinómio^^

-br>-br>AVISO!!! Não se esqueça do a na fórmula!!
Muitas pessoas pensam que a fórmula é f(x) = (x – x1)(x – x – x2), mas não se esqueça do a na frente dela…

Exemplo: f(x) = 4×2 – 4x – 24.
Primeiro calculamos as raízes: Δ = b2 – 4ac – = (-4)2 – 4 × 4 × (-24) = 400
400 > 0 para que haja 2 raízes:
x1 = (-b + √Δ)/2a = 3
x2 = (-b – √Δ)/2a = -2
(pode divertir-se expandindo o cálculo para verificar )

Então só precisamos de aplicar a fórmula:
Desde f(x) = 4×2 – 4x – 24, temos a = 4, daí

f(x) = a(x – x1)(x – x – x2) = 4(x – 3)(x – (-2)) = 4(x – 3)(x + 2)

E aí está, como se pode ver quando se conhece a fórmula e se sabe calcular as raízes, não há preocupações

->br>AVISÃO!!! No exemplo há uma raiz negativa (-2), portanto no final temos x “+” 2.
Apenas porque há x – x1 ou x – x2 na fórmula não significa que teremos necessariamente “-” no final, tudo depende do x1 e x2.
No vídeo do exercício falamos novamente sobre isto.

se agora Δ

P>A última coisa antes dos exercícios: se Δ = 0, dissemos que só havia uma raiz: x1.
Mas então como aplicamos a fórmula ????
Bem, uma vez que dissemos que era uma raiz DOUBLE, de facto o x2 é igual ao x1.
Então temos f(x) = a(x – x1)(x – x1)
Isto dá f(x) = a(x – x1)2
Assim:

br>>>

Desde que estamos a falar disso, aqui estão apenas alguns exercícios de factoring polinomial para praticar rapidamente o factoring de um polinomial de segundo grau.

br>>>>p>Tabela de sinais

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Uma das coisas que terá frequentemente de fazer com os polinómios de segundo grau é a sua mesa de sinais!!
Verá que é muito simples

O mais simples é quando há 0 ou 1 solução, porque a função não muda de sinal!!!

Nota que tudo depende do sinal de a!
Se a for positivo, a função é positiva.
Se a for negativo, a função é negativa!!!

br>———————————–

Isto é realmente demasiado simples br> Tenha o cuidado de colocar o valor para o qual a função cancela no caso de haver 1 solução.

Mas este não é o caso que se encontra mais frequentemente. Normalmente existem 2 raízes.

P>Talvez tenha reparado que podemos deduzir uma propriedade que se mantém para todos os casos:

Assim, dá isto:

Of course, é novamente fazendo muitos exercícios na tabela de sinais que se pode melhorar

Sumação da parábola e tabela de variação

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Para cada parábola, há o que se chama o vértice, que é o ponto onde a função é máxima ou mínima :

Este ponto é frequentemente denotado S (S como vértice obviamente^^).
A abcissa deste ponto, que por isso vamos notar xS, tem a fórmula:

Notificação de que esta é a fórmula de antes para o caso em que só havia uma raiz^^^^br>Gráficamente isto dá isto:

Vemos então algo muito simples:
Se a > 0, a função está a diminuir em ]-∞; xSxS; +∞-∞; xSxS; +∞[ (o oposto de quê^^)

Assim podemos construir as tabelas de variações nos 2 casos:

Falta o valor de f em xS e os limites em +∞ e -∞ mas pode ainda não ter visto estes conceitos. Não faz mal, essa não é a parte mais difícil^^

Faça estes exercícios sobre as variações de um polinómio para dominar esta última parte do capítulo.

br>>>p> A forma canónica

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Qual é a forma canónica?
É simplesmente outra forma de escrever um polinómio de segundo grau.
Vimos que existe a forma expandida, a forma factorizada e finalmente veremos a forma canónica. A fórmula é:

Mas a que correspondem isto α e β? (alfa e beta)
Bem elas correspondem às coordenadas do vértice da parábola (que vimos pouco antes).

Então :

Okay, mas então concretamente o que é preciso fazer para calcular a forma canónica?
Um pequeno exemplo está em ordem

P>P>Ponhamos que temos f(x) = 3×2 + 4x – 5
Pomos então a = 3, b = 4, e c = -5
Primeiro calculamos α, depois β, e finalmente substituímos tudo isso na fórmula.

Então calculamos β :

A única coisa a fazer é substituir na fórmula :

E é tudo, encontrámos a forma canónica da função f

>br>>>>/p>

Exercícios

P>Agora que os polinómios de segundo grau não têm segredos para si, pratique com estes exercícios sobre os polinómios de segundo grau.

Interesse dos polinómios
Os polinómios são frequentemente encontrados em estudos de funções, são funções “básicas”.
Os polinómios de segundo grau são especialmente interessantes de estudar porque se pode calcular o seu vértice, variações, raízes, sinais, etc… de uma forma simples, uma vez que se conhece o método, ao contrário das funções de grau superior.

Além disso, encontramos polinómios de segundo grau em física, especialmente em Terminale quando estudamos a trajectória de um projéctil. De facto, se atirar uma bola para cima, ela terá uma trajectória parabólica, pelo que teremos uma equação de segundo grau.

Por isso, lembre-se bem deste capítulo com as fórmulas e as várias propriedades, porque é provável que as revisite frequentemente!

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